Задача 1
(Задание для работы в группе.) Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. Постройте параллелограмм, три вершины которого совпадают с данными точками. Сколько таких параллелограммов можно построить?
Решение
Три данные точки — три вершины параллелограмма. Четвёртая вершина \(D\) лежит против одной из них, и каждая из трёх сторон треугольника \(ABC\) может оказаться диагональю.
Построение для диагонали \(AC\):
- Строим середину \(O\) отрезка \(AC\) (серединным перпендикуляром).
- На луче \(BO\) за точку \(O\) откладываем \(OD = BO\).
- Диагонали \(AC\) и \(BD\) четырёхугольника \(ABCD\) делятся точкой \(O\) пополам — по признаку 3° это параллелограмм.
Так же строим параллелограммы, у которых диагональю служит \(AB\) (четвёртая вершина против \(C\)) или \(BC\) (против \(A\)). Получаются три разные четвёртые вершины, то есть три параллелограмма.
Ответ
Диагональю параллелограмма может быть любая из трёх сторон треугольника ABC, а вершину напротив строим по третьему признаку.
Подробнее — в теме «Признаки параллелограмма».