Задача 1
Даны острый угол hk и отрезки P₁Q₁ и P₂Q₂. Постройте параллелограмм ABCD, у которого расстояние между прямыми AB и DC равно P₁Q₁, AB = P₂Q₂ и ∠A = ∠hk.
Решение
Анализ: сторона \(AB\) лежит на стороне угла \(A\), а прямая \(DC\) параллельна \(AB\) и отстоит от неё на \(P_1Q_1\); вершина \(D\) — точка пересечения этой прямой со второй стороной угла.
- Строим угол с вершиной \(A\), равный углу \(hk\); на одной его стороне откладываем \(AB = P_2Q_2\).
- Через \(A\) проводим перпендикуляр к прямой \(AB\) и откладываем на нём, по ту же сторону, где вторая сторона угла, отрезок \(AE = P_1Q_1\).
- Через \(E\) проводим прямую \(m \parallel AB\); все её точки удалены от прямой \(AB\) на \(P_1Q_1\). Прямая \(m\) пересекает вторую сторону угла в точке \(D\) (сторона угла не параллельна \(AB\)).
- На прямой \(m\) от точки \(D\) в ту же сторону, что и \(B\) от \(A\), откладываем \(DC = P_2Q_2\).
В четырёхугольнике \(ABCD\) стороны \(AB\) и \(DC\) равны и параллельны, по признаку 1° это параллелограмм. В нём \(AB = P_2Q_2\), \(\angle A = \angle hk\), расстояние между \(AB\) и \(DC\) равно \(P_1Q_1\). Задача всегда имеет единственное решение.
Ответ
Прямая, параллельная AB на расстоянии P₁Q₁, задаёт вершину D, а равный и параллельный AB отрезок DC даёт параллелограмм по первому признаку.
Подробнее — в теме «Признаки параллелограмма».