Задача 1
Условие (кратко)
Диагональ равнобедренной трапеции равна a. Найдите периметр четырёхугольника, вершины которого — середины сторон трапеции.
Решение
Дано
- \(ABCD\) — равнобедренная трапеция
- \(AC = BD = a\); \(K, L, M, N\) — середины \(AB, BC, CD, DA\)
Найти
- \(P_{KLMN}\)
- Диагонали равнобедренной трапеции равны (задача 491, б): \(AC = BD = a\).
- \(KL\) и \(NM\) — средние линии треугольников \(ABC\) и \(ADC\), поэтому \(KL = NM = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{a}{2}\) (задача 484).
- \(LM\) и \(KN\) — средние линии треугольников \(BCD\) и \(BAD\), поэтому \(LM = KN = \dfrac{BD}{2} = \dfrac{a}{2}\).
- \(P_{KLMN} = 4 \cdot \dfrac{a}{2} = 2a\).
Ответ
2a
Почему так
Стороны четырёхугольника Вариньона — средние линии треугольников, равные половинам диагоналей, а диагонали равнобедренной трапеции равны.
Подробнее — в теме «Трапеция».