Задача 1
Условие (кратко)
Докажите теорему Фалеса: если на одной прямой отложить подряд равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то на ней отсекутся равные отрезки.
Решение
Дано: на прямой \(l_1\) отложены \(A_1A_2 = A_2A_3 = \ldots\), прямые \(A_1B_1 \parallel A_2B_2 \parallel A_3B_3 \parallel \ldots\) пересекают прямую \(l_2\) в точках \(B_1, B_2, B_3, \ldots\) Доказать: \(B_1B_2 = B_2B_3 = \ldots\)
Достаточно доказать, что \(B_1B_2 = B_2B_3\); для следующих пар рассуждение то же.
- Пусть \(l_1 \parallel l_2\). Тогда \(A_1B_1B_2A_2\) и \(A_2B_2B_3A_3\) — параллелограммы (противоположные стороны попарно параллельны), и \(B_1B_2 = A_1A_2\), \(B_2B_3 = A_2A_3\). Так как \(A_1A_2 = A_2A_3\), то \(B_1B_2 = B_2B_3\).
- Пусть \(l_1\) и \(l_2\) не параллельны. Через \(B_1\) проведём прямую \(l \parallel l_1\); она пересечёт прямые \(A_2B_2\) и \(A_3B_3\) в точках \(C\) и \(D\). По случаю 1 (для параллельных прямых \(l_1\) и \(l\)) \(B_1C = CD\).
- В треугольнике \(B_1DB_3\) точка \(C\) — середина стороны \(B_1D\), а прямая \(CB_2\) параллельна \(DB_3\). По задаче 485 она проходит через середину стороны \(B_1B_3\), то есть \(B_1B_2 = B_2B_3\).
Ответ
Теорема доказана: B₁B₂ = B₂B₃ = …
Почему так
Для параллельных прямых работают противоположные стороны параллелограммов, а общий случай сводится к нему и признаку средней линии треугольника.
Подробнее — в теме «Трапеция».