Задача 1
Условие (кратко)
Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон. Докажите, что она параллельна основаниям и равна их полусумме.
Решение
Дано: \(ABCD\) — трапеция с основаниями \(AD\) и \(BC\), \(M\) и \(N\) — середины \(AB\) и \(CD\). Доказать: \(MN \parallel AD\), \(MN = \dfrac{AD + BC}{2}\).
- Проведём через \(M\) прямую, параллельную основаниям. Прямые \(BC\), эта прямая и \(AD\) параллельны и отсекают на \(AB\) равные отрезки \(BM = MA\). По теореме Фалеса (задача 488) они отсекают равные отрезки и на \(CD\), значит, проведённая прямая проходит через середину \(N\) стороны \(CD\). Поэтому \(MN \parallel AD \parallel BC\).
- Пусть \(MN\) пересекает диагональ \(AC\) в точке \(K\). По той же теореме \(K\) — середина \(AC\).
- \(MK\) — средняя линия треугольника \(ABC\): \(MK = \dfrac{BC}{2}\). \(KN\) — средняя линия треугольника \(ACD\): \(KN = \dfrac{AD}{2}\) (задача 484).
- \(MN = MK + KN = \dfrac{BC}{2} + \dfrac{AD}{2} = \dfrac{AD + BC}{2}\).
Ответ
Утверждение доказано: MN ∥ AD ∥ BC, MN = (AD + BC)/2
Почему так
Параллельность следует из теоремы Фалеса, а длина — из двух средних линий треугольников, на которые делит трапецию диагональ.
Подробнее — в теме «Трапеция».