Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 50

Упражнение 491 к § 50

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что в равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — трапеция, $AD \parallel BC$ , $$AD > BC$$ , $$AB = CD$$ . Доказать: $\angle A = \angle D$ , $\angle B = \angle C$ .

Через вершину $$C$$ проведём прямую, параллельную $$AB$$ ; она пересечёт $$AD$$ в точке $$E$$ .
$$ABCE$$ — параллелограмм ( $AB \parallel CE$ , $BC \parallel AE$ ), поэтому $$CE = AB = CD$$ .
Треугольник $$CED$$ равнобедренный, $\angle CED = \angle D$ .
$\angle CED = \angle A$ как соответственные при $AB \parallel CE$ и секущей $$AD$$ . Значит, $\angle A = \angle D$ .
$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - \angle D = \angle C$ (углы при боковых сторонах).

Ответ

Утверждение доказано: ∠A = ∠D, ∠B = ∠C

Почему так

Прямая, параллельная боковой стороне, отсекает параллелограмм и равнобедренный треугольник.

Подробнее — в теме «Трапеция».

Задача 2

Условие (кратко)

Докажите, что в равнобедренной трапеции диагонали равны.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — трапеция, $AD \parallel BC$ , $$AB = CD$$ . Доказать: $$AC = BD$$ .

Треугольники $$ABD$$ и $$DCA$$ равны по двум сторонам и углу между ними: $$AB = DC$$ по условию, $$AD$$ — общая сторона, $\angle BAD = \angle CDA$ (углы при основании равнобедренной трапеции, пункт а). Значит, $$BD = CA$$ .

Ответ

Утверждение доказано: AC = BD

Почему так

Диагонали — соответственные стороны равных треугольников ABD и DCA.

Подробнее — в теме «Трапеция».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки