Упражнение 492 к § 50

Дано: \(ABCD\) — трапеция, \(AD \parallel BC\), \(\angle A = \angle D\). Доказать: \(AB = CD\).

Если равны углы при меньшем основании, то равны и углы при большем (они дополняют их до \(180^\circ\)), поэтому считаем, что \(AD\) — большее основание.

1. Через \(C\) проведём \(CE \parallel AB\), \(E\) на \(AD\). \(ABCE\) — параллелограмм, \(CE = AB\).
2. \(\angle CED = \angle A\) как соответственные, а \(\angle A = \angle D\), значит, \(\angle CED = \angle D\).
3. Треугольник \(CED\) равнобедренный: \(CE = CD\). Отсюда \(AB = CE = CD\).

Дано: \(ABCD\) — трапеция, \(AD \parallel BC\), \(AC = BD\). Доказать: \(AB = CD\).

1. Через \(C\) проведём прямую, параллельную \(BD\); она пересечёт прямую \(AD\) в точке \(E\).
2. \(BCED\) — параллелограмм (\(BC \parallel DE\), \(CE \parallel BD\)), поэтому \(CE = BD = AC\).
3. Треугольник \(ACE\) равнобедренный: \(\angle CAE = \angle CEA\). А \(\angle CEA = \angle BDA\) как соответственные при \(CE \parallel BD\) и секущей \(AE\). Значит, \(\angle CAD = \angle BDA\).
4. Треугольники \(ACD\) и \(DBA\) равны по двум сторонам и углу между ними: \(AC = DB\), \(AD\) — общая, \(\angle CAD = \angle BDA\). Поэтому \(CD = BA\).