Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что из одинаковых плиток в форме равнобедренной трапеции можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости.
Решение
Дано: одинаковые плитки — равнобедренные трапеции \(ABCD\) с основаниями \(AD = a\), \(BC = b\) (\(a > b\)). Доказать: ими можно замостить плоскость.
- Приложим вторую плитку к первой так, чтобы их боковые стороны совпали (\(CD\)), а меньшее основание второй плитки легло на продолжение большего основания \(AD\) первой (вторая плитка «перевёрнута»).
- В точке \(D\) сходятся угол \(D\) первой плитки и угол второй плитки при меньшем основании, равный \(\angle C\). Их сумма \(\angle C + \angle D = 180^\circ\), поэтому основания действительно лежат на одной прямой. Так же в точке \(C\) сходятся углы \(C\) и \(D\), и большее основание второй плитки продолжает \(BC\).
- Получилась фигура, у которой нижняя сторона \(a + b\) и верхняя сторона \(b + a\) лежат на параллельных прямых. Эти стороны равны и параллельны, поэтому по признаку параллелограмма пара плиток образует параллелограмм.
- Одинаковые параллелограммы прикладываем друг к другу вдоль прямой — получается полоса между двумя параллельными прямыми. Полосы укладываем одну над другой без зазоров — так покрывается любая часть плоскости.
Ответ
Утверждение доказано: две плитки складываются в параллелограмм, а параллелограммы — в полосы, покрывающие плоскость
Почему так
Углы при боковой стороне трапеции дают в сумме 180°, поэтому две перевёрнутые плитки образуют параллелограмм.
Подробнее — в теме «Трапеция».