Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 50

Упражнение 495 к § 50

§ 50. Трапеция · тема: Трапеция

Задача 1

Условие (кратко)

Основания прямоугольной трапеции a = 4 см и b = 7 см, один из углов α = 60°. Найдите большую боковую сторону.

Решение

Дано

$\(ABCD\)$
$AD \parallel BC$
$\angle A = \angle B = 90^\circ$
$\(BC = 4\)$ см
$\(AD = 7\)$ см
$\angle D = 60^\circ$

Найти

$\(CD\)$

Проведём $CH \perp AD$ . $AB \parallel CH$ (обе перпендикулярны $\(AD\)$ ) и $BC \parallel AH$ , поэтому $\(ABCH\)$ — параллелограмм и $\(AH = BC = 4\)$ см.
$\(HD = AD - AH = 7 - 4 = 3\)$ см.
В прямоугольном треугольнике $\(CHD\)$ : $\angle HCD = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ . Катет $\(HD\)$ лежит против угла $30^\circ$ , поэтому $CD = 2 \cdot HD = 6$ см.

Ответ

6 см

Почему так

Высота из вершины меньшего основания отсекает прямоугольный треугольник, где катет против 30° равен половине гипотенузы.

Подробнее — в теме «Трапеция».

Задача 2

Условие (кратко)

Основания прямоугольной трапеции a = 10 см и b = 15 см, один из углов α = 45°. Найдите меньшую боковую сторону.

Решение

Дано

$\(ABCD\)$
$AD \parallel BC$
$\angle A = \angle B = 90^\circ$
$\(BC = 10\)$ см
$\(AD = 15\)$ см
$\angle D = 45^\circ$

Найти

$\(AB\)$

Проведём $CH \perp AD$ . Как в пункте а, $\(ABCH\)$ — параллелограмм: $\(AH = BC = 10\)$ см и $\(CH = AB\)$ .
$\(HD = 15 - 10 = 5\)$ см.
В прямоугольном треугольнике $\(CHD\)$ : $\angle HCD = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ = \angle D$ , поэтому он равнобедренный и $\(CH = HD = 5\)$ см.
$\(AB = CH = 5\)$ см.

Ответ

5 см

Почему так

При угле 45° отсечённый прямоугольный треугольник равнобедренный, и высота трапеции равна разности оснований.

Подробнее — в теме «Трапеция».

Похожие задачи для тренировки

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/geometriya-8-atanasyan/p50/upr-495/