Упражнение 500 к § 50

Даны отрезки \(AD\), \(AB\) и угол \(A\).

1. Строим отрезок \(AD\), при вершине \(A\) — угол, равный данному, и на его стороне откладываем \(AB\).
2. При вершине \(D\) по ту же сторону от \(AD\) строим угол \(ADY\), равный углу \(A\).
3. Через \(B\) проводим прямую, параллельную \(AD\); она пересекает луч \(DY\) в точке \(C\).

\(BC \parallel AD\), а углы при основании \(AD\) равны, поэтому \(ABCD\) — трапеция и по признаку (задача 492, а) она равнобедренная.

Исследование: если \(\angle A = 90^\circ\), лучи \(AB\) и \(DY\) параллельны и трапеции нет. При тупом угле \(A\) решение всегда есть (\(AD\) — меньшее основание). При остром угле решение есть, только если точка \(C\) лежит по ту же сторону от \(B\), что и \(D\), и не совпадает с \(B\), то есть основание \(AD\) достаточно длинное по сравнению с \(AB\). Решение единственно.

Анализ: в равнобедренной трапеции \(CD = AB\), поэтому в треугольнике \(BCD\) известны все три стороны: \(BC\), \(CD = AB\), \(BD\).

1. Строим треугольник \(BCD\) по трём сторонам: \(BC\), \(CD = AB\), \(BD\).
2. Через \(D\) проводим прямую \(m\), параллельную \(BC\).
3. Окружность с центром \(B\) и радиусом \(AB\) пересекает прямую \(m\), вообще говоря, в двух точках. Одна из них даёт параллелограмм (\(BA \parallel CD\)), её отбрасываем; вторую обозначаем \(A\).

\(AD \parallel BC\), \(AB = CD\) и \(AB\) не параллельна \(CD\), значит, \(ABCD\) — равнобедренная трапеция с данными основанием, боковой стороной и диагональю.

Исследование: решение есть, если треугольник \(BCD\) строится (каждый отрезок меньше суммы двух других) и окружность пересекает прямую \(m\) во второй точке, отличной от вершины параллелограмма.