Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что если в четырёхугольнике все углы прямые, то четырёхугольник — прямоугольник.
Решение
Дано: \(ABCD\) — четырёхугольник, \(\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ\). Доказать: \(ABCD\) — прямоугольник.
- Прямые \(AB\) и \(CD\) перпендикулярны прямой \(AD\) (углы \(A\) и \(D\) прямые). Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны: \(AB \parallel CD\).
- Так же \(AD \perp AB\) и \(BC \perp AB\), поэтому \(AD \parallel BC\).
- Противоположные стороны попарно параллельны — \(ABCD\) параллелограмм.
- Параллелограмм, у которого все углы прямые, — прямоугольник.
Ответ
Утверждение доказано — четырёхугольник является параллелограммом с прямыми углами, то есть прямоугольником.
Почему так
Стороны, перпендикулярные одной прямой, параллельны, поэтому четырёхугольник с прямыми углами — параллелограмм.
Подробнее — в теме «Прямоугольник».