Задача 1
Условие (кратко)
Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что треугольники AOD и AOB равнобедренные.
Решение
Дано: \(ABCD\) — прямоугольник, \(O\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\). Доказать: \(\triangle AOD\) и \(\triangle AOB\) равнобедренные.
- Прямоугольник — параллелограмм, поэтому диагонали точкой пересечения делятся пополам: \(AO = \dfrac{AC}{2}\), \(BO = DO = \dfrac{BD}{2}\).
- Диагонали прямоугольника равны: \(AC = BD\), значит, \(AO = BO = DO\).
- В треугольнике \(AOD\) стороны \(AO\) и \(DO\) равны, в треугольнике \(AOB\) — стороны \(AO\) и \(BO\). Оба треугольника равнобедренные.
Ответ
Утверждение доказано — AO = BO = DO, поэтому треугольники AOD и AOB равнобедренные.
Почему так
Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому все их половины равны.
Подробнее — в теме «Прямоугольник».