Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 51

Упражнение 515 к § 51

Задача 1

Условие (кратко)

Постройте прямоугольник по двум смежным сторонам.

Решение

Даны отрезки $$P_1Q_1$$ и $$P_2Q_2$$ — смежные стороны.

Проведите прямую и отметьте на ней точку $$A$$ . Постройте через $$A$$ перпендикуляр к этой прямой (циркулем и линейкой, как в 7 классе).
На прямой отложите $$AD = P_1Q_1$$ , на перпендикуляре — $$AB = P_2Q_2$$ .
Проведите окружность с центром $$B$$ радиусом $$P_1Q_1$$ и окружность с центром $$D$$ радиусом $$P_2Q_2$$ . Их точку пересечения по ту же сторону от $$AD$$ , что и $$B$$ , обозначьте $$C$$ .
В четырёхугольнике $$ABCD$$ противоположные стороны попарно равны ( $$BC = AD$$ , $$CD = AB$$ ), значит, это параллелограмм. Угол $$A$$ прямой, поэтому $$ABCD$$ — прямоугольник (задача 502).

Ответ

Построен прямоугольник ABCD со сторонами AD = P₁Q₁ и AB = P₂Q₂.

Почему так

Четырёхугольник с попарно равными противоположными сторонами — параллелограмм, а параллелограмм с прямым углом — прямоугольник.

Подробнее — в теме «Прямоугольник».

Условие (кратко)

Постройте прямоугольник по стороне и диагонали.

Решение

Даны отрезки $$a$$ (сторона) и $$d$$ (диагональ), $$d > a$$ .

Постройте прямой угол с вершиной $$A$$ (перпендикуляр к прямой в точке $$A$$ ).
На одной стороне угла отложите $$AD = a$$ .
Окружность с центром $$D$$ радиусом $$d$$ пересечёт другую сторону угла в точке $$B$$ ; тогда $$BD = d$$ .
Через $$B$$ проведите прямую, перпендикулярную $$AB$$ , через $$D$$ — прямую, перпендикулярную $$AD$$ ; их пересечение — точка $$C$$ .
В четырёхугольнике $$ABCD$$ все углы прямые, значит, это прямоугольник (задача 503) со стороной $$AD = a$$ и диагональю $$BD = d$$ .

Задача имеет решение, только если диагональ длиннее стороны: гипотенуза $$BD$$ треугольника $$ABD$$ больше катета $$AD$$ .

Ответ

Построен прямоугольник ABCD со стороной AD = a и диагональю BD = d (при d > a).

Почему так

Сторона и диагональ задают прямоугольный треугольник ABD, который достраивается до прямоугольника.

Подробнее — в теме «Прямоугольник».

Условие (кратко)

Постройте прямоугольник по диагонали и углу между диагоналями.

Решение

Даны отрезок $$d$$ (диагональ) и угол $$hk$$ .

Постройте угол, равный данному, с вершиной $$O$$ и продолжите обе его стороны за точку $$O$$ — получатся две пересекающиеся прямые.
Разделите отрезок $$d$$ пополам (построением середины отрезка).
Проведите окружность с центром $$O$$ радиусом $\dfrac{d}{2}$ . Она пересечёт первую прямую в точках $$A$$ и $$C$$ , вторую — в точках $$B$$ и $$D$$ (вершины берите по кругу так, чтобы $\angle AOB = \angle hk$ ).
Диагонали $$AC$$ и $$BD$$ четырёхугольника $$ABCD$$ точкой пересечения делятся пополам — это параллелограмм. Его диагонали равны ( $$AC = BD = d$$ ), значит, это прямоугольник (признак прямоугольника).

Ответ

Построен прямоугольник ABCD с диагоналями, равными d, и углом между ними, равным ∠hk.

Почему так

Четырёхугольник, диагонали которого равны и делятся пополам, — прямоугольник.

Подробнее — в теме «Прямоугольник».