Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что прямая, проходящая через середины противоположных сторон прямоугольника, является его осью симметрии.
Решение
Дано: \(ABCD\) — прямоугольник, \(M\) — середина \(AB\), \(N\) — середина \(CD\). Доказать: \(MN\) — ось симметрии \(ABCD\).
- \(AB = CD\), поэтому \(AM = DN\). Кроме того, \(AM \parallel DN\) (они лежат на параллельных сторонах). Значит, \(AMND\) — параллелограмм (признак 1°, п. 49).
- Угол \(A\) этого параллелограмма прямой, значит, \(AMND\) — прямоугольник, и \(MN \perp AB\), \(MN \perp CD\).
- Прямая \(MN\) перпендикулярна \(AB\) и проходит через её середину — это серединный перпендикуляр, поэтому точки \(A\) и \(B\) симметричны относительно \(MN\). Так же симметричны \(D\) и \(C\).
- При симметрии относительно \(MN\) отрезок \(AD\) переходит в отрезок \(BC\), отрезок \(AB\) — сам в себя, отрезок \(DC\) — сам в себя. Значит, каждая точка прямоугольника переходит в точку прямоугольника, и \(MN\) — его ось симметрии.
Ответ
Утверждение доказано — прямая MN служит серединным перпендикуляром к AB и CD, поэтому прямоугольник симметричен относительно неё.
Почему так
Прямая через середины противоположных сторон прямоугольника перпендикулярна им, то есть является серединным перпендикуляром.
Подробнее — в теме «Прямоугольник».