Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 52

Упражнение 510 к § 52

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите признак ромба. Параллелограмм является ромбом, если его диагонали взаимно перпендикулярны.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — параллелограмм, $AC \perp BD$ , $$O$$ — точка пересечения диагоналей. Доказать: $$ABCD$$ — ромб.

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам: $$BO = OD$$ .
Прямоугольные треугольники $$AOB$$ и $$AOD$$ равны по двум катетам: $$AO$$ — общий, $$BO = OD$$ .
Значит, $$AB = AD$$ .
Противоположные стороны параллелограмма равны: $$CD = AB$$ , $$BC = AD$$ . Отсюда $$AB = BC = CD = DA$$ , и $$ABCD$$ — ромб.

Ответ

Утверждение доказано — у параллелограмма с перпендикулярными диагоналями все стороны равны, это ромб.

Почему так

Перпендикулярная диагональ оказывается медианой и высотой треугольника ABD, поэтому соседние стороны равны.

Подробнее — в теме «Ромб и квадрат».

Условие (кратко)

Докажите признак ромба. Параллелограмм является ромбом, если диагональ делит его угол пополам.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — параллелограмм, $\angle BAC = \angle CAD$ . Доказать: $$ABCD$$ — ромб.

$AD \parallel BC$ , поэтому $\angle CAD = \angle ACB$ как накрест лежащие при секущей $$AC$$ .
Значит, $\angle BAC = \angle ACB$ , и треугольник $$ABC$$ равнобедренный: $$AB = BC$$ .
Противоположные стороны параллелограмма равны: $$CD = AB$$ , $$AD = BC$$ . Отсюда все стороны равны, и $$ABCD$$ — ромб.

Ответ

Утверждение доказано — соседние стороны параллелограмма равны, поэтому он ромб.

Почему так

Диагональ-биссектриса вместе с накрест лежащими углами даёт равнобедренный треугольник, то есть равные соседние стороны.

Подробнее — в теме «Ромб и квадрат».