Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 52

Упражнение 512 к § 52

§ 52. Ромб и квадрат · тема: Ромб и квадрат

Задача 1

Условие (кратко)

(Задание для работы в группе.) Является ли четырёхугольник квадратом, если его диагонали равны и взаимно перпендикулярны?

Решение

Нет, не обязательно. Контрпример: проведём две перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке $$O$$ . На одной отложим $$OA = 1$$ см и $$OC = 3$$ см по разные стороны от $$O$$ , на другой — $$OB = OD = 2$$ см. Диагонали $$AC = 4$$ см и $$BD = 4$$ см равны и перпендикулярны.

Но точка $$O$$ не середина $$AC$$ , поэтому $$ABCD$$ — не параллелограмм (у параллелограмма диагонали делятся пополам), а значит, и не квадрат.

Ответ

Нет

Почему так

Равные перпендикулярные диагонали, не делящиеся пополам, дают четырёхугольник, который даже не параллелограмм.

Подробнее — в теме «Ромб и квадрат».

Задача 2

Условие (кратко)

Является ли четырёхугольник квадратом, если его диагонали взаимно перпендикулярны и имеют общую середину?

Решение

Нет, не обязательно. Диагонали с общей серединой делятся точкой пересечения пополам — четырёхугольник является параллелограммом (признак 3°, п. 49). Перпендикулярные диагонали делают его ромбом (задача 510).

Но ромб не обязательно квадрат: например, если отложить от $$O$$ по одной прямой отрезки по 1 см, а по другой — по 3 см, получится ромб с разными диагоналями, у которого углы не прямые.

Ответ

Нет

Почему так

Перпендикулярные диагонали с общей серединой гарантируют только ромб.

Подробнее — в теме «Ромб и квадрат».

Задача 3

Условие (кратко)

Является ли четырёхугольник квадратом, если его диагонали равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину?

Решение

Да.

Диагонали имеют общую середину — четырёхугольник является параллелограммом (признак 3°, п. 49).
Диагонали параллелограмма равны — он прямоугольник (признак прямоугольника, п. 51).
Диагонали параллелограмма перпендикулярны — он ромб (задача 510), то есть все его стороны равны.
Прямоугольник с равными сторонами — квадрат.

Ответ

Да

Почему так

Общая середина даёт параллелограмм, равенство диагоналей — прямоугольник, перпендикулярность — равные стороны.

Подробнее — в теме «Ромб и квадрат».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Похожие задачи для тренировки