Задача 1
Условие (кратко)
В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Через точку её пересечения с гипотенузой проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что полученный четырёхугольник — квадрат.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\), \(CD\) — биссектриса, \(D \in AB\), \(DE \parallel BC\) (\(E \in AC\)), \(DF \parallel AC\) (\(F \in BC\)). Доказать: \(CEDF\) — квадрат.
- \(CE \parallel DF\) и \(CF \parallel DE\) — противоположные стороны попарно параллельны, \(CEDF\) — параллелограмм.
- Его угол \(C\) прямой, значит, \(CEDF\) — прямоугольник (задача 502).
- Диагональ \(CD\) делит угол \(C\) пополам. Параллелограмм, диагональ которого делит угол пополам, — ромб (задача 510, б).
- Прямоугольник, являющийся ромбом, имеет прямые углы и равные стороны — это квадрат.
Ответ
Утверждение доказано — CEDF является и прямоугольником, и ромбом, то есть квадратом.
Почему так
Прямой угол делает параллелограмм прямоугольником, а диагональ-биссектриса — ромбом.
Подробнее — в теме «Ромб и квадрат».