Задача 1
Условие (кратко)
Дан равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C и катетом AC = 12 см и квадрат CDEF, две стороны которого лежат на катетах, а вершина E — на гипотенузе. Найдите периметр квадрата.
Решение
Дано
- \(\triangle ABC\)
- \(\angle C = 90^\circ\)
- \(AC = BC = 12\) см
- \(CDEF\) — квадрат
- \(D \in AC\)
- \(F \in BC\)
- \(E \in AB\)
Найти
- \(P_{CDEF}\)
- Треугольник \(ABC\) равнобедренный прямоугольный, поэтому \(\angle A = 45^\circ\).
- \(ED \perp AC\) (сторона квадрата), значит, треугольник \(ADE\) прямоугольный, и \(\angle AED = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\). Он равнобедренный: \(AD = DE\).
- \(DE = CD\) как стороны квадрата. Тогда \(AC = AD + DC = 2CD\), откуда \(CD = 12 : 2 = 6\) см.
- \(P = 4 \cdot 6 = 24\) см.
Ответ
24 см
Почему так
Вершина квадрата на гипотенузе отсекает равнобедренный прямоугольный треугольник, поэтому сторона квадрата равна половине катета.
Подробнее — в теме «Ромб и квадрат».