Вырежьте из бумаги два равных прямоугольных треугольника и составьте из них равнобедренный треугольник. Сравните его площадь с площадями фигур из пунктов б) и в).
Решение
Приложите треугольники друг к другу равными катетами так, чтобы прямые углы оказались рядом, а вторые катеты легли на одну прямую (один треугольник — зеркальное отражение другого).
Два прямых угла вместе дают развёрнутый угол, поэтому вторые катеты образуют одну сторону — основание. Боковые стороны — две равные гипотенузы, значит, треугольник равнобедренный.
Площадь: фигура составлена из двух равных треугольников площадью \(S\) каждый. По свойствам площадей (равные фигуры имеют равные площади, площадь составной фигуры равна сумме площадей частей) её площадь равна \(2S\).
Ответ
Равнобедренный треугольник площадью 2S, где S — площадь одного треугольника
Почему так
Фигура составлена из двух равных треугольников, поэтому её площадь равна сумме их площадей.
Из тех же двух равных прямоугольных треугольников составьте прямоугольник и сравните его площадь с площадями других фигур.
Решение
Приложите треугольники друг к другу гипотенузами так, чтобы катеты одного легли против равных катетов другого (второй треугольник повёрнут на \(180^\circ\)).
Получится четырёхугольник с двумя прямыми углами в вершинах треугольников; два других угла составлены из острых углов \(\alpha\) и \(90^\circ - \alpha\), то есть тоже прямые. Это прямоугольник со сторонами, равными катетам.
Площадь прямоугольника, как и у любой фигуры из этих двух треугольников, равна \(2S\).
Ответ
Прямоугольник площадью 2S — столько же, сколько у других фигур
Почему так
Равносоставленные фигуры, составленные из одних и тех же частей, имеют равные площади.
Из тех же двух равных прямоугольных треугольников составьте параллелограмм, отличный от прямоугольника, и сравните площади всех трёх полученных фигур.
Решение
Приложите треугольники друг к другу равными катетами, повернув второй на \(180^\circ\) относительно середины общего катета (прямые углы окажутся в противоположных концах катета).
Противоположные стороны получившегося четырёхугольника попарно равны (две гипотенузы и два других катета), значит, это параллелограмм. Его углы — не прямые, так что он отличен от прямоугольника.
Площадь параллелограмма равна \(2S\). Итак, все три фигуры — равнобедренный треугольник, прямоугольник и параллелограмм — равносоставлены и, значит, равновелики.
Ответ
Параллелограмм площадью 2S; площади всех трёх фигур равны
Почему так
Фигуры, составленные из одних и тех же частей, равновелики — это следует из основных свойств площадей.
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).