Коротко о главном
Площадь многоугольника — это число, которое показывает, сколько раз в нём укладывается единичный квадрат и его части. Равные фигуры имеют равные площади, площадь составной фигуры равна сумме площадей частей, а площадь квадрата равна квадрату его стороны.
Подробное объяснение
Площадь комнаты 16 квадратных метров, дачный участок в 6 соток — это привычные слова. Но что именно мы измеряем? Площадь многоугольника — величина той части плоскости, которую он занимает.
Единицы площади
Длину отрезка измеряют, откладывая на нём единичный отрезок. Площадь измеряют так же, только вместо отрезка «укладывают» единичный квадрат — квадрат, сторона которого равна единице длины.
- Квадрат со стороной 1 см — квадратный сантиметр, \(\text{см}^2\).
- Квадрат со стороной 1 м — квадратный метр, \(\text{м}^2\). Аналогично \(\text{мм}^2\), \(\text{дм}^2\), \(\text{км}^2\).
Площадь — положительное число: сколько раз единица и её доли укладываются в фигуре. Прямоугольник, в который ровно помещаются 6 квадратных сантиметров, имеет площадь 6 \(\text{см}^2\). Если целые квадраты не укладываются, используют доли: квадратный миллиметр — это 0,01 \(\text{см}^2\).
Перевод единиц — главная ловушка. 1 см = 10 мм, но квадратный сантиметр — это квадрат \(10 \times 10\) мм, то есть 100 \(\text{мм}^2\). Так же \(1\) \(\text{дм}^2 = 100\) \(\text{см}^2\), \(1\) \(\text{м}^2 = 10\,000\) \(\text{см}^2\).
Три свойства площадей
Укладывать квадратики долго, поэтому площадь обычно вычисляют по формулам. Формулы выводят из свойств:
- Равные многоугольники имеют равные площади. Если фигуры совпадают при наложении, единица в них укладывается одинаковое число раз.
- Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников без наложений, его площадь равна сумме их площадей. «Без наложений» — внутренние области частей не пересекаются.
- Площадь квадрата равна квадрату его стороны: если сторона равна \(a\), площадь равна \(a^2\).
Первые два свойства называют основными — такими же свойствами обладают длины отрезков.
Почему площадь квадрата равна \(a^2\)
Если сторона — целое число \(a\), квадрат разбивается на \(a\) рядов по \(a\) единичных квадратов, всего \(a^2\). Если \(a = \dfrac{1}{n}\), то единичный квадрат делится на \(n^2\) таких квадратиков, и площадь каждого \(\dfrac{1}{n^2} = a^2\). Так же проверяют конечные десятичные дроби: квадрат со стороной 2,1 см складывается из 4 \(\text{см}^2\) и 41 \(\text{мм}^2\), то есть \(4{,}41 = 2{,}1^2\). Для бесконечных десятичных дробей площадь зажимают между площадями квадратов с округлёнными сторонами, и она тоже оказывается равна \(a^2\).
Равновеликие и равносоставленные
Фигуры с равными площадями называют равновеликими. Если одну фигуру разрезали на части и сложили из них другую, фигуры равносоставленные. Равносоставленные фигуры всегда равновелики — это следует из свойств 1 и 2. Удивительно, что верно и обратное: любые два равновеликих многоугольника можно разрезать на одинаковые части (теорема Бойяи — Гервина, 1832–1833 гг.).
Равновеликие фигуры не обязательно равны: квадрат \(2 \times 2\) и прямоугольник \(1 \times 4\) имеют площадь 4, но наложить их друг на друга нельзя.
Как решать задачи
- Приведите все длины к одной единице — до вычислений.
- Сложную фигуру разбейте на квадраты (позже — прямоугольники, треугольники) без наложений и сложите площади.
- Если фигура — «квадрат с вырезом», из площади целого вычтите площадь выреза.
- Чтобы найти сторону квадрата по площади, извлеките квадратный корень: \(a = \sqrt{S}\).
- Площадь записывайте в квадратных единицах: \(\text{см}^2\), а не см.
Разобранные примеры
Сторона квадрата по площади
Площадь квадратной клумбы равна 6,25 \(\text{м}^2\). Найдите длину её стороны.
- квадрат
- \(S = 6{,}25\) \(\text{м}^2\)
- \(a\)
\(S = a^2\), сторона положительна, поэтому \(a = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5\) м. Проверка: \(2{,}5^2 = 6{,}25\).
Перевод единиц площади
Площадь квадрата равна 0,3 \(\text{дм}^2\). Выразите её в квадратных миллиметрах.
- \(S = 0{,}3\) \(\text{дм}^2\)
- \(S\) в \(\text{мм}^2\)
1 дм = 100 мм, поэтому \(1\) \(\text{дм}^2 = 100^2 = 10\,000\) \(\text{мм}^2\). Тогда \(S = 0{,}3 \cdot 10\,000 = 3000\) \(\text{мм}^2\).
Рамка вокруг квадрата
Квадратную фотографию со стороной 12 см вставили в квадратную рамку так, что вокруг фото со всех сторон осталась полоса шириной 3 см. Найдите площадь полосы.
- фото — квадрат со стороной 12 см
- полоса шириной 3 см
- площадь полосы
Сторона внешнего квадрата: \(12 + 3 + 3 = 18\) см. Внешний квадрат составлен из фото и полосы без наложений, поэтому площадь полосы \(18^2 - 12^2 = 324 - 144 = 180\) \(\text{см}^2\).
Типичные ошибки
1 см = 10 мм, но из этого не следует, что 1 \(\text{см}^2\) = 10 \(\text{мм}^2\). Квадратный сантиметр — квадрат \(10 \times 10\) мм, в нём 100 квадратных миллиметров.
Множитель перевода длины возводите в квадрат: \(1\) \(\text{см}^2 = 10^2\) \(\text{мм}^2\), \(1\) \(\text{м}^2 = 100^2\) \(\text{см}^2\). Надёжнее всего сначала перевести стороны, а уже потом считать площадь.
Равенство фигур — это совпадение при наложении. Площадь у многих разных фигур одна и та же: квадрат \(3 \times 3\) и прямоугольник \(1 \times 9\) имеют площадь 9, но они не равны.
Из равенства фигур следует равенство площадей, но не наоборот. Чтобы доказать равенство фигур, нужны признаки равенства, а не площади.
Если сторону квадрата увеличить в 2 раза, кажется, что и площадь вырастет в 2 раза. Но в новом квадрате помещаются 4 исходных: \((2a)^2 = 4a^2\).
Площадь квадрата растёт как квадрат стороны: сторона в \(k\) раз больше — площадь в \(k^2\) раз больше.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Что принимают за единицу измерения площадей, если отрезки измеряют в сантиметрах?
Показать ответ
Ответ: Б) Квадрат со стороной 1 см
Единица площади — квадрат, сторона которого равна единице длины; квадрат со стороной 1 см — это 1 \(\text{см}^2\).
-
Какие утверждения верны?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Равные многоугольники имеют равные площади; В) Площадь многоугольника, составленного из частей без наложения, равна сумме площадей частей; Г) Равносоставленные многоугольники равновелики
Обратное к первому свойству неверно — квадрат 2 × 2 и прямоугольник 1 × 4 имеют равные площади, но не равны.
-
Сколько квадратных миллиметров в 1 см²?
Показать ответ
Ответ: 100
1 см = 10 мм, поэтому \(1\) \(\text{см}^2 = 10^2 = 100\) \(\text{мм}^2\).
-
Сторону квадрата увеличили в 3 раза. Как изменилась его площадь?
Показать ответ
Ответ: В) Увеличилась в 9 раз
\((3a)^2 = 9a^2\) — площадь растёт как квадрат стороны.
-
Площадь квадрата равна 0,25 дм². Найдите его сторону в дециметрах.
Показать ответ
Ответ: 0,5
\(a = \sqrt{0{,}25} = 0{,}5\) дм, так как \(0{,}5^2 = 0{,}25\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Найдите площадь квадрата со стороной 7 см.
Подсказка
Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
Решение
\(S = a^2 = 7^2 = 49\) \(\text{см}^2\).
Ответ
Площадь квадрата равна 81 см². Найдите его сторону.
Подсказка
Какое положительное число в квадрате даёт 81?
Решение
\(a^2 = 81\), сторона положительна, поэтому \(a = \sqrt{81} = 9\) см.
Ответ
Выразите площадь 3,5 м² в квадратных сантиметрах.
Подсказка
Сколько квадратных сантиметров в квадрате со стороной 1 м = 100 см?
Решение
1 м = 100 см, поэтому \(1\) \(\text{м}^2 = 100^2 = 10\,000\) \(\text{см}^2\). Тогда \(3{,}5\) \(\text{м}^2 = 3{,}5 \cdot 10\,000 = 35\,000\) \(\text{см}^2\).
Ответ
Два квадрата со сторонами 3 см и 5 см приложили друг к другу так, что они не перекрываются. Найдите площадь получившейся фигуры.
Подсказка
Площадь фигуры, составленной из частей без наложения, равна сумме площадей частей.
Решение
Площади квадратов \(3^2 = 9\) \(\text{см}^2\) и \(5^2 = 25\) \(\text{см}^2\). Внутренние области не пересекаются, поэтому площадь фигуры \(9 + 25 = 34\) \(\text{см}^2\).
Ответ
Из угла квадрата со стороной 10 см вырезали квадрат со стороной 4 см. Найдите площадь оставшейся фигуры.
Подсказка
Большой квадрат составлен из вырезанного квадрата и оставшейся фигуры.
Решение
Большой квадрат составлен из маленького квадрата и оставшейся фигуры, поэтому \(S_{\text{ост}} = 10^2 - 4^2 = 100 - 16 = 84\) \(\text{см}^2\).
Ответ
Площадь квадрата увеличилась в 9 раз. Во сколько раз увеличилась его сторона?
Подсказка
Запишите площадь нового квадрата через сторону старого.
Решение
Если сторона увеличилась в \(k\) раз, то площадь \((ka)^2 = k^2 a^2\) — в \(k^2\) раз. \(k^2 = 9\), \(k = 3\).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите лист в клетку и договоритесь, что одна клетка — единица площади. Нарисуйте квадрат 3 × 3 клетки и попросите сосчитать клетки: 9 = 3². Потом разрежьте фигуру на две части и сложите их по-другому — клеток столько же, площадь не изменилась. Вопросы для проверки понимания: 1) Сколько квадратных сантиметров в квадратном дециметре и почему не 10? 2) Могут ли две разные фигуры иметь одинаковую площадь? 3) Во сколько раз вырастет площадь квадрата, если его сторону увеличить втрое? На что обратить внимание. Чаще всего ошибаются в переводе единиц площади и забывают писать «квадратные» единицы в ответе.