Задача 1
Условие (кратко)
Дан параллелограмм ABCD, точка M симметрична точке D относительно точки C. Докажите, что площадь ABCD равна площади треугольника AMD.
Решение
Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, \(M\) симметрична \(D\) относительно \(C\). Доказать: \(S_{ABCD} = S_{AMD}\).
- Точка \(C\) — середина отрезка \(DM\), поэтому \(CM = CD\), а \(CD = AB\) (противоположные стороны параллелограмма). Значит, \(CM = AB\).
- Точки \(D\) и \(M\) лежат по разные стороны от прямой \(BC\), а \(A\) — по ту же сторону, что и \(D\) (так как \(AD \parallel BC\)). Поэтому отрезок \(AM\) пересекает прямую \(BC\); обозначим точку пересечения \(O\).
- Прямые \(AB\) и \(DM\) параллельны. При секущей \(AM\) накрест лежащие углы равны: \(\angle BAO = \angle CMO\); при секущей \(BC\): \(\angle ABO = \angle MCO\).
- Значит, \(\triangle ABO = \triangle MCO\) по стороне и двум прилежащим углам. Отсюда \(BO = CO\), то есть \(O\) — середина \(BC\), и площади этих треугольников равны.
- Параллелограмм составлен из четырёхугольника \(AOCD\) и треугольника \(ABO\), а треугольник \(AMD\) — из того же четырёхугольника \(AOCD\) и треугольника \(MCO\). По свойствам площадей \(S_{ABCD} = S_{AOCD} + S_{ABO} = S_{AOCD} + S_{MCO} = S_{AMD}\).
Ответ
Доказано: S ABCD = S AMD
Почему так
Фигуры отличаются заменой одного треугольника на равный ему, поэтому их площади равны.
Подробнее — в теме «Понятие площади. Площадь квадрата».