Задача 1
Условие (кратко)
На стороне AD прямоугольника ABCD построен треугольник ADE, его стороны AE и DE пересекают BC в точках M и N, M — середина AE. Докажите, что площадь ABCD равна площади ADE.
Решение
Дано: \(ABCD\) — прямоугольник, \(AE\) и \(DE\) пересекают \(BC\) в точках \(M\) и \(N\), \(AM = ME\). Доказать: \(S_{ABCD} = S_{ADE}\).
- Проведём перпендикуляр \(EF\) к прямой \(BC\).
- Прямоугольные треугольники \(ABM\) и \(EFM\) (\(\angle B = \angle F = 90^\circ\)): гипотенузы \(AM = EM\), острые углы \(\angle AMB = \angle EMF\) как вертикальные. Значит, \(\triangle ABM = \triangle EFM\) по гипотенузе и острому углу; отсюда \(EF = AB\) и \(MF = MB\).
- Прямоугольные треугольники \(DCN\) и \(EFN\): катеты \(DC = AB = EF\), углы \(\angle DNC = \angle ENF\) как вертикальные, поэтому и вторые острые углы равны: \(\angle CDN = \angle FEN\) (каждый равен \(90^\circ\) минус равные углы). Значит, \(\triangle DCN = \triangle EFN\) по стороне и двум прилежащим углам; \(NF = NC\).
- Точка \(F\) симметрична \(B\) относительно \(M\) и \(C\) относительно \(N\), поэтому она лежит на отрезке \(MN\), и треугольник \(MEN\) составлен из треугольников \(EFM\) и \(EFN\).
- Прямоугольник составлен из четырёхугольника \(AMND\) и треугольников \(ABM\), \(DCN\); треугольник \(ADE\) — из \(AMND\) и треугольников \(EFM\), \(EFN\). Равные треугольники имеют равные площади, поэтому \(S_{ABCD} = S_{ADE}\).
Ответ
Доказано: S ABCD = S ADE
Почему так
Треугольники, «отрезанные» от прямоугольника, равны треугольникам, «добавленным» к нему, поэтому площади совпадают.
Подробнее — в теме «Понятие площади. Площадь квадрата».