Задача 1
Условие (кратко)
Диагональ параллелограмма равна его стороне. Найти площадь параллелограмма, если бо́льшая сторона равна 15,2 см, а один из углов — 45°.
Решение
Дано
- \(ABCD\) — параллелограмм
- \(AD = 15{,}2\) см — бо́льшая сторона
- \(\angle A = 45^\circ\)
- одна из диагоналей равна стороне
Найти
- \(S\)
- Угол \(B\) равен \(135^\circ\). Диагональ \(AC\) лежит в треугольнике \(ACD\) против тупого угла \(D\), поэтому она больше и \(AD\), и \(CD\) — со стороной она совпасть не может. Значит, стороне равна диагональ \(BD\).
- Если \(BD = AD\), то в треугольнике \(ABD\) \(\angle ABD = \angle A = 45^\circ\), тогда \(\angle ADB = 90^\circ\) и гипотенуза \(AB\) больше \(AD\) — противоречит тому, что \(AD\) бо́льшая. Поэтому \(BD = AB\).
- Треугольник \(ABD\) равнобедренный, \(\angle ADB = \angle A = 45^\circ\). Проведём высоту \(BH\). Треугольники \(ABH\) и \(DBH\) прямоугольные с острым углом \(45^\circ\), значит, равнобедренные: \(AH = BH\), \(HD = BH\).
- \(AD = AH + HD = 2BH\), отсюда \(BH = 15{,}2 : 2 = 7{,}6\) см.
- \(S = AD \cdot BH = 15{,}2 \cdot 7{,}6 = 115{,}52\) \(\text{см}^2\).
Ответ
S = 115,52 см²
Почему так
Короткая диагональ равна меньшей стороне, и высота оказывается половиной большей стороны.
Подробнее — в теме «Площадь параллелограмма».