Задача 1
Условие (кратко)
В треугольник ABC вписана окружность радиуса 3 см, касающаяся AB, BC, CA в точках P, Q, R. Найти площадь ABC, если AP = 5 см, BQ = 5 см, CR = 6 см.
Решение
Дано
- окружность радиуса \(r = 3\) см вписана в \(\triangle ABC\)
- \(P\)
- \(Q\)
- \(R\) — точки касания со сторонами \(AB\)
- \(BC\)
- \(CA\); \(AP = 5\) см
- \(BQ = 5\) см
- \(CR = 6\) см
Найти
- \(S\)
- Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны: \(AR = AP = 5\) см, \(BP = BQ = 5\) см, \(CQ = CR = 6\) см.
- Стороны: \(AB = AP + PB = 10\) см, \(BC = BQ + QC = 11\) см, \(CA = CR + RA = 11\) см.
- Полупериметр \(\dfrac{10 + 11 + 11}{2} = 16\) см.
- \(S = 16 \cdot 3 = 48\) \(\text{см}^2\).
Ответ
S = 48 см²
Почему так
Отрезки касательных из одной вершины равны, полупериметр равен сумме трёх данных отрезков.
Подробнее — в теме «Площадь треугольника».