Задача 1
Условие (кратко)
Через вершину C треугольника ABC проведена прямая m, параллельная AB. Доказать, что все треугольники с вершиной на m и основанием AB имеют равные площади.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(m \parallel AB\), \(C \in m\), \(M\) — любая точка прямой \(m\). Доказать: \(S_{ABM} = S_{ABC}\).
- Все точки прямой \(m\) находятся на одном и том же расстоянии \(h\) от параллельной ей прямой \(AB\) (теорема п. 37).
- Значит, у любого треугольника \(ABM\) с вершиной \(M\) на прямой \(m\) высота, проведённая к основанию \(AB\), равна \(h\).
- \(S_{ABM} = \dfrac{1}{2}AB \cdot h\) — одно и то же число для всех таких треугольников, в том числе для \(\triangle ABC\).
Ответ
Утверждение доказано — у всех таких треугольников общее основание и равные высоты
Почему так
Все точки одной из параллельных прямых равноудалены от другой, поэтому высоты к AB равны.
Подробнее — в теме «Площадь треугольника».