Задача 1
Условие (кратко)
Начертить треугольник ABC и провести через вершину A две прямые, которые делят его на три треугольника равной площади.
Решение
Построение.
- Начертите произвольный треугольник \(ABC\).
- Разделите сторону \(BC\) на три равные части точками \(M\) и \(N\) (\(BM = MN = NC\)). Можно измерить \(BC\) линейкой и разделить длину на 3. Циркулем и линейкой: из \(B\) проведите вспомогательный луч, отложите на нём циркулем три равных отрезка \(BK_1\), \(K_1K_2\), \(K_2K_3\), соедините \(K_3\) с \(C\) и через \(K_1\), \(K_2\) проведите прямые, параллельные \(K_3C\), — по теореме Фалеса они разделят \(BC\) на три равные части.
- Проведите прямые \(AM\) и \(AN\).
Почему получилось: треугольники \(ABM\), \(AMN\) и \(ANC\) имеют равные основания \(BM = MN = NC\) и общую высоту — перпендикуляр из \(A\) к прямой \(BC\). Поэтому их площади равны, каждая — треть площади \(\triangle ABC\).
Ответ
Прямые AM и AN, где точки M и N делят BC на три равные части
Почему так
Треугольники с общей высотой и равными основаниями имеют равные площади.
Подробнее — в теме «Площадь треугольника».