Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 58

Упражнение 574 к § 58

Задача 1

Условие (кратко)

Доказать, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — ромб, $$AC$$ и $$BD$$ — диагонали, $$O$$ — точка их пересечения. Доказать: $S = \dfrac{1}{2}AC \cdot BD$ .

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, поэтому $BO \perp AC$ и $DO \perp AC$ .
Диагональ $$AC$$ делит ромб на треугольники $$ABC$$ и $$ADC$$ . В них $$BO$$ и $$DO$$ — высоты, проведённые к общему основанию $$AC$$ .
$S = S_{ABC} + S_{ADC} = \dfrac{1}{2}AC \cdot BO + \dfrac{1}{2}AC \cdot DO = \dfrac{1}{2}AC \cdot (BO + DO) = \dfrac{1}{2}AC \cdot BD$ .

Ответ

Утверждение доказано — S = ½·d₁·d₂

Почему так

Одна диагональ делит ромб на два треугольника, а половинки другой служат их высотами.

Условие (кратко)

Вычислить площадь ромба с диагоналями 3,2 дм и 14 см.

Решение

Дано

Найти

$S = \dfrac{1}{2}d_1 d_2 = \dfrac{1}{2} \cdot 32 \cdot 14 = 224$ $\text{см}^2$ .

Ответ

S = 224 см²

Почему так

Перед вычислением переводим диагонали в одни единицы.

Условие (кратко)

Вычислить площадь ромба с диагоналями 4,6 дм и 2 дм.

Решение

Дано

Найти

$S = \dfrac{1}{2}d_1 d_2 = \dfrac{1}{2} \cdot 4{,}6 \cdot 2 = 4{,}6$ $\text{дм}^2$ .

Ответ

S = 4,6 дм²

Почему так

Площадь ромба — половина произведения диагоналей.