Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 58

Упражнение 576 к § 58

Задача 1

Условие (кратко)

В выпуклом четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Доказать, что его площадь равна половине произведения диагоналей.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — выпуклый четырёхугольник, $AC \perp BD$ . Доказать: $S = \dfrac{1}{2}AC \cdot BD$ .

Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются; пусть $$O$$ — точка пересечения. Она лежит на отрезке $$BD$$ , поэтому $$BO + OD = BD$$ .
Диагональ $$AC$$ делит четырёхугольник на треугольники $$ABC$$ и $$ADC$$ . Так как $BD \perp AC$ , отрезки $$BO$$ и $$DO$$ — высоты этих треугольников, проведённые к общему основанию $$AC$$ .
$S = \dfrac{1}{2}AC \cdot BO + \dfrac{1}{2}AC \cdot OD = \dfrac{1}{2}AC \cdot (BO + OD) = \dfrac{1}{2}AC \cdot BD$ .

Ответ

Утверждение доказано — S = ½·AC·BD

Почему так

Доказательство то же, что для ромба, — равенство половин диагоналей в нём не нужно.