Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 58

Упражнение 577 к § 58

Задача 1

Условие (кратко)

Точки D и E лежат на сторонах AB и AC треугольника ABC. Найти площадь ADE, если AB = 5 см, AC = 6 см, AD = 3 см, AE = 2 см, площадь ABC 10 см².

Решение

Дано

Найти

У треугольников $$ADE$$ и $$ABC$$ общий угол $$A$$ , поэтому их площади относятся как произведения сторон, заключающих этот угол: $\dfrac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \dfrac{AD \cdot AE}{AB \cdot AC} = \dfrac{3 \cdot 2}{5 \cdot 6} = \dfrac{1}{5}.$
$S_{ADE} = \dfrac{10}{5} = 2$ $\text{см}^2$ .

Ответ

2 см²

Почему так

Теорема об отношении площадей треугольников с равным углом.

Условие (кратко)

Точки D и E лежат на сторонах AB и AC треугольника ABC. Найти AD, если AB = 8 см, AC = 3 см, AE = 2 см, площадь ABC 10 см², площадь ADE 2 см².

Решение

Дано

Найти

Угол $$A$$ общий, поэтому $\dfrac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \dfrac{AD \cdot AE}{AB \cdot AC}$ .
$\dfrac{2}{10} = \dfrac{AD \cdot 2}{8 \cdot 3}$ , откуда $AD = \dfrac{2 \cdot 24}{10 \cdot 2} = 2{,}4$ см.

Ответ

AD = 2,4 см

Почему так

Из отношения площадей треугольников с общим углом находим неизвестную сторону.