Задача 1
Условие (кратко)
Тупой угол равнобедренной трапеции равен 135°, высота из вершины этого угла делит большее основание на отрезки 1,4 см и 3,4 см. Найти площадь трапеции.
Решение
Дано
- \(ABCD\) — равнобедренная трапеция
- \(AD \parallel BC\)
- \(\angle B = 135^\circ\)
- \(BH \perp AD\)
- \(AH = 1{,}4\) см
- \(HD = 3{,}4\) см
Найти
- \(S\)
- \(\angle A = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ\). Прямоугольный треугольник \(ABH\) с острым углом \(45^\circ\) равнобедренный: \(BH = AH = 1{,}4\) см.
- \(AD = 1{,}4 + 3{,}4 = 4{,}8\) см.
- Проведём вторую высоту \(CK\). Прямоугольные треугольники \(ABH\) и \(DCK\) равны (по гипотенузе \(AB = CD\) и острому углу \(\angle A = \angle D\)), поэтому \(KD = AH = 1{,}4\) см. \(HBCK\) — прямоугольник, \(BC = HK = 4{,}8 - 1{,}4 - 1{,}4 = 2\) см.
- \(S = \dfrac{AD + BC}{2} \cdot BH = \dfrac{4{,}8 + 2}{2} \cdot 1{,}4 = 3{,}4 \cdot 1{,}4 = 4{,}76\) \(\text{см}^2\).
Ответ
S = 4,76 см²
Почему так
Угол 45° делает высоту равной меньшему отрезку, а полусумма оснований равнобедренной трапеции равна большему отрезку.
Подробнее — в теме «Площадь трапеции».