Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 60

Упражнение 587 к § 60

§ 60. Теорема Пифагора · тема: Теорема Пифагора

Задача 1

Условие (кратко)

Доказать, что площадь равностороннего треугольника со стороной a равна a²√3/4.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ равносторонний, сторона $$a$$ . Доказать: $S = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$ .

Проведём высоту $$BH$$ . В равностороннем треугольнике она и медиана, поэтому $AH = \dfrac{a}{2}$ .
Из прямоугольного треугольника $$ABH$$ по теореме Пифагора $BH^2 = a^2 - \dfrac{a^2}{4} = \dfrac{3a^2}{4}$ , откуда $BH = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ .
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту к ней: $S = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$ .

Ответ

Утверждение доказано: S = a²√3/4

Почему так

Высоту находим по теореме Пифагора, а затем подставляем в формулу площади треугольника.

Подробнее — в теме «Теорема Пифагора».

Задача 2

Условие (кратко)

Найти площадь равностороннего треугольника со стороной 5 см.

Решение

Дано

$$a = 5$$ см

Найти

$$S$$

$S = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{25\sqrt{3}}{4}$ см².

Ответ

25√3/4 см²

Почему так

Площадь равностороннего треугольника — по выведенной формуле S = a²√3/4.

Подробнее — в теме «Теорема Пифагора».

Задача 3

Условие (кратко)

Найти площадь равностороннего треугольника со стороной 1,2 см.

Решение

Дано

$$a = 1{,}2$$ см

Найти

$$S$$

$a^2 = 1{,}44$ , поэтому $S = \dfrac{1{,}44\sqrt{3}}{4} = 0{,}36\sqrt{3}$ см².

Ответ

0,36√3 см²

Почему так

Подставляем сторону в формулу S = a²√3/4.

Подробнее — в теме «Теорема Пифагора».

Задача 4

Условие (кратко)

Найти площадь равностороннего треугольника со стороной 2√2 дм.

Решение

Дано

$a = 2\sqrt{2}$ дм

Найти

$$S$$

$a^2 = 4 \cdot 2 = 8$ , поэтому $S = \dfrac{8\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3}$ дм².

Ответ

2√3 дм²

Почему так

Квадрат стороны 2√2 равен 8, дальше — формула S = a²√3/4.

Подробнее — в теме «Теорема Пифагора».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки