Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 60

Упражнение 588 к § 60

Задача 1

Условие (кратко)

Найти боковую сторону и площадь равнобедренного треугольника с основанием 12 см и высотой к основанию 8 см.

Решение

Дано

Найти

Высота к основанию — медиана, $$AH = 6$$ см. $$AB^2 = AH^2 + BH^2 = 36 + 64 = 100$$ , $$AB = 10$$ см.
$S = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ см².

Ответ

10 см и 48 см²

Почему так

Боковая сторона — гипотенуза треугольника с катетами «половина основания» и «высота».

Подробнее — в теме «Теорема Пифагора».

Условие (кратко)

Найти боковую сторону и площадь равнобедренного треугольника с основанием 18 см и углом 120°, противолежащим основанию.

Решение

Дано

Найти

Углы при основании равны $(180^\circ - 120^\circ) : 2 = 30^\circ$ .
Высота $$BH$$ — медиана, $$AH = 9$$ см. В треугольнике $$ABH$$ катет $$BH$$ лежит против угла $30^\circ$ , поэтому $BH = \dfrac{AB}{2}$ .
По теореме Пифагора $AB^2 = 81 + \dfrac{AB^2}{4}$ , $\dfrac{3AB^2}{4} = 81$ , $$AB^2 = 108$$ , $AB = 6\sqrt{3}$ см. Тогда $BH = 3\sqrt{3}$ см.
$S = \dfrac{1}{2} \cdot 18 \cdot 3\sqrt{3} = 27\sqrt{3}$ см².

Ответ

6√3 см и 27√3 см²

Почему так

Угол 30° при основании даёт связь «высота = половина боковой стороны», а теорема Пифагора — уравнение.

Подробнее — в теме «Теорема Пифагора».

Условие (кратко)

Равнобедренный треугольник прямоугольный, высота к гипотенузе 7 см. Найти боковую сторону и площадь.

Решение

Дано

Найти

Углы при гипотенузе равны $45^\circ$ . В треугольнике $$ACH$$ угол $$A$$ равен $45^\circ$ , угол $$H$$ прямой, значит, $\angle ACH = 45^\circ$ и $$AH = CH = 7$$ см.
$$AC^2 = AH^2 + CH^2 = 49 + 49 = 98$$ , $AC = 7\sqrt{2}$ см.
$S = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \dfrac{1}{2} \cdot 98 = 49$ см².

Ответ

7√2 см и 49 см²

Почему так

Высота к гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы, дальше — теорема Пифагора.

Подробнее — в теме «Теорема Пифагора».