Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 60

Упражнение 593 к § 60

Задача 1

Условие (кратко)

Найти площадь трапеции ABCD с основаниями AB = 10 см и CD = 20 см, если BC = DA = 13 см.

Решение

Дано

Найти

Трапеция равнобедренная. Проведём высоты $$AH$$ и $$BK$$ к основанию $$CD$$ : $$HK = AB = 10$$ см, а $$DH = KC = (20 - 10) : 2 = 5$$ см.
В треугольнике $$ADH$$ : $$AH^2 = 169 - 25 = 144$$ , $$AH = 12$$ см.
$S = \dfrac{AB + CD}{2} \cdot AH = \dfrac{10 + 20}{2} \cdot 12 = 180$ см².

Ответ

180 см²

Почему так

Высоту равнобедренной трапеции находят из прямоугольного треугольника у боковой стороны.

Подробнее — в теме «Теорема Пифагора».

Условие (кратко)

Найти площадь трапеции ABCD с основаниями AB и CD, если ∠C = ∠D = 60°, AB = BC = 8 см.

Решение

Дано

Найти

Углы при основании $$CD$$ равны, значит, трапеция равнобедренная, $$AD = BC = 8$$ см. Углы при $$CD$$ острые, поэтому $$CD$$ — большее основание.
Высота $$BK$$ : в треугольнике $$BKC$$ угол $$CBK$$ равен $30^\circ$ , поэтому $KC = \dfrac{BC}{2} = 4$ см. Так же $$DH = 4$$ см, и $$CD = 4 + 8 + 4 = 16$$ см.
$$BK^2 = 64 - 16 = 48$$ , $BK = 4\sqrt{3}$ см.
$S = \dfrac{8 + 16}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 48\sqrt{3}$ см².

Ответ

48√3 см²

Почему так

Катет против угла 30° даёт проекцию боковой стороны, а теорема Пифагора — высоту.

Подробнее — в теме «Теорема Пифагора».

Условие (кратко)

Найти площадь трапеции ABCD с основаниями AB и CD, если ∠C = ∠D = 45°, AB = 6 см, BC = 9√2 см.

Решение

Дано

Найти

Трапеция равнобедренная, $$CD$$ — большее основание. Проведём высоту $$BK$$ : в треугольнике $$BKC$$ угол $$C$$ равен $45^\circ$ , значит, и $\angle CBK = 45^\circ$ , $$BK = KC$$ .
$$2BK^2 = BC^2 = 162$$ , $$BK^2 = 81$$ , $$BK = KC = 9$$ см. Так же $$DH = 9$$ см, $$CD = 9 + 6 + 9 = 24$$ см.
$S = \dfrac{6 + 24}{2} \cdot 9 = 135$ см².

Ответ

135 см²

Почему так

При угле 45° высота равна проекции боковой стороны, обе находятся по теореме Пифагора.

Подробнее — в теме «Теорема Пифагора».