Задача 1
Условие (кратко)
Основание D высоты CD треугольника ABC лежит на стороне AB, AD = BC. Найти AC, если AB = 3, CD = √3.
Решение
Дано
- \(\triangle ABC\)
- \(CD \perp AB\)
- \(D\) на \(AB\)
- \(AD = BC\)
- \(AB = 3\)
- \(CD = \sqrt{3}\)
Найти
- \(AC\)
- Пусть \(AD = BC = x\), тогда \(DB = 3 - x\).
- В прямоугольном треугольнике \(CDB\): \(BC^2 = CD^2 + DB^2\), то есть \(x^2 = 3 + (3 - x)^2 = 3 + 9 - 6x + x^2\). Отсюда \(6x = 12\), \(x = 2\).
- В прямоугольном треугольнике \(ACD\): \(AC^2 = AD^2 + CD^2 = 4 + 3 = 7\), \(AC = \sqrt{7}\).
Ответ
AC = √7
Почему так
Высота разбивает треугольник на два прямоугольных; теорема Пифагора для одного из них даёт уравнение.
Подробнее — в теме «Теорема Пифагора».