Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 60

Упражнение 599 к § 60

§ 60. Теорема Пифагора · тема: Теорема Пифагора

Задача 1

Условие (кратко)

В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса r = 4 см, гипотенуза 26 см. Найти периметр треугольника.

Решение

Дано

$\triangle ABC$
$\angle C = 90^\circ$
$\(AB = 26\)$ см
вписанная окружность радиуса $\(r = 4\)$ см касается $\(BC\)$
$\(AC\)$
$\(AB\)$ в точках $\(K\)$
$\(L\)$
$\(M\)$

Найти

$\(P\)$

Отрезки касательных из одной точки равны: $\(AL = AM\)$ , $\(BK = BM\)$ , $\(CK = CL\)$ .
Радиусы $\(OK\)$ и $\(OL\)$ перпендикулярны катетам, угол $\(C\)$ прямой, поэтому $\(OKCL\)$ — квадрат и $\(CK = CL = r = 4\)$ см.
$\(P = (AL + CL) + (BK + CK) + AB = (AM + BM) + 2r + AB = 2AB + 2r = 52 + 8 = 60\)$ см.

Ответ

60 см

Почему так

Отрезки касательных из одной вершины равны, а у прямого угла они равны радиусу.

Подробнее — в теме «Теорема Пифагора».

Задача 2

Условие (кратко)

Точка касания вписанной окружности делит гипотенузу прямоугольного треугольника на отрезки 5 см и 12 см. Найти периметр треугольника.

Решение

Дано

$\triangle ABC$
$\angle C = 90^\circ$
вписанная окружность касается $\(AB\)$ в точке $\(M\)$
$\(AM = 5\)$ см
$\(BM = 12\)$ см

Найти

$\(P\)$

Отрезки касательных из одной точки равны, а у вершины прямого угла они равны радиусу $\(r\)$ (см. задачу а). Поэтому $\(AC = 5 + r\)$ , $\(BC = 12 + r\)$ , $\(AB = 17\)$ см.
По теореме Пифагора $\((5 + r)^2 + (12 + r)^2 = 17^2\)$ , то есть $\(2r^2 + 34r + 169 = 289\)$ , $\(r^2 + 17r - 60 = 0\)$ , $\((r - 3)(r + 20) = 0\)$ . Радиус положителен: $\(r = 3\)$ см.
Катеты $\(8\)$ см и $\(15\)$ см, $\(P = 8 + 15 + 17 = 40\)$ см.

Ответ

40 см

Почему так

Катеты выражаем через радиус по свойству касательных и составляем уравнение по теореме Пифагора.

Подробнее — в теме «Теорема Пифагора».

Похожие задачи для тренировки

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/geometriya-8-atanasyan/p60/upr-599/