Задача 1
Условие (кратко)
Найти сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности 10 см.
Решение
Дано
- \(\triangle ABC\) равносторонний
- \(O\) — центр описанной окружности
- \(R = OB = 10\) см
Найти
- сторону \(a\)
- Центр описанной окружности лежит на серединных перпендикулярах к сторонам. В равностороннем треугольнике они совпадают с высотами и биссектрисами, поэтому \(O\) лежит на высоте \(AH\), а \(BO\) — биссектриса угла \(B\), \(\angle OBH = 30^\circ\).
- В прямоугольном треугольнике \(OBH\) катет \(OH\) лежит против угла \(30^\circ\): \(OH = \dfrac{OB}{2} = 5\) см. Тогда высота \(AH = AO + OH = 10 + 5 = 15\) см.
- \(BH = \dfrac{a}{2}\), и по теореме Пифагора \(a^2 = 15^2 + \dfrac{a^2}{4}\), \(\dfrac{3a^2}{4} = 225\), \(a^2 = 300\), \(a = 10\sqrt{3}\) см.
Ответ
10√3 см
Почему так
Центр лежит на высоте и делит её на части R и R/2, а сторону находим по теореме Пифагора.
Подробнее — в теме «Теорема Пифагора».