Задача 1
Условие (кратко)
Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, 120°, боковая сторона 8 см. Найти диаметр описанной окружности.
Решение
Дано
- \(\triangle ABC\)
- \(AB = AC = 8\) см
- \(\angle A = 120^\circ\)
Найти
- диаметр \(d\) описанной окружности
- Углы при основании по \(30^\circ\). Высота \(AH\) — медиана, она лежит против угла \(30^\circ\) в треугольнике \(ABH\): \(AH = 4\) см. \(BH^2 = 64 - 16 = 48\), \(BH = 4\sqrt{3}\) см.
- Центр \(O\) лежит на серединном перпендикуляре к \(BC\), то есть на прямой \(AH\). Угол \(A\) тупой, поэтому центр находится за основанием \(BC\), на продолжении \(AH\) за точку \(H\): \(OA = R\), \(OH = R - 4\).
- \(OB = R\), и из треугольника \(OBH\): \(R^2 = 48 + (R - 4)^2 = 48 + R^2 - 8R + 16\), откуда \(8R = 64\), \(R = 8\) см.
- \(d = 2R = 16\) см.
Ответ
16 см
Почему так
Центр описанной окружности лежит на оси симметрии треугольника, его положение находим из уравнения по теореме Пифагора.
Подробнее — в теме «Теорема Пифагора».