Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 61

Упражнение 596 к § 61

§ 61. Теорема, обратная теореме Пифагора · тема: Теорема, обратная теореме Пифагора

Задача 1

Условие (кратко)

Выяснить, является ли треугольник со сторонами 6, 8, 10 прямоугольным. Ответ обосновать.

Решение

Дано

стороны 6
8
10

Найти

прямоугольный ли треугольник

Сравним квадрат большей стороны с суммой квадратов двух других: $$10^2 = 100$$ , $$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$$ . Равенство выполняется, поэтому по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник прямоугольный (прямой угол лежит против стороны 10).

Ответ

Да

Почему так

Если квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других, треугольник прямоугольный.

Подробнее — в теме «Теорема, обратная теореме Пифагора».

Задача 2

Условие (кратко)

Выяснить, является ли треугольник со сторонами 5, 6, 7 прямоугольным. Ответ обосновать.

Решение

Дано

стороны 5
6
7

Найти

прямоугольный ли треугольник

Если бы треугольник был прямоугольным, гипотенузой была бы большая сторона 7 и по теореме Пифагора выполнялось бы $$7^2 = 5^2 + 6^2$$ . Но $$7^2 = 49$$ , а $$5^2 + 6^2 = 61$$ . Значит, треугольник не прямоугольный.

Ответ

Нет

Почему так

Для прямоугольного треугольника квадрат большей стороны обязан равняться сумме квадратов двух других.

Подробнее — в теме «Теорема, обратная теореме Пифагора».

Задача 3

Условие (кратко)

Выяснить, является ли треугольник со сторонами 9, 12, 15 прямоугольным. Ответ обосновать.

Решение

Дано

стороны 9
12
15

Найти

прямоугольный ли треугольник

$$15^2 = 225$$ , $$9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$$ . Равенство верно, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник прямоугольный. Это египетский треугольник 3, 4, 5, увеличенный в 3 раза.

Ответ

Да

Почему так

Квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других — работает обратная теорема Пифагора.

Подробнее — в теме «Теорема, обратная теореме Пифагора».

Задача 4

Условие (кратко)

Выяснить, является ли треугольник со сторонами 10, 24, 26 прямоугольным. Ответ обосновать.

Решение

Дано

стороны 10
24
26

Найти

прямоугольный ли треугольник

$$26^2 = 676$$ , $$10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$$ . Равенство верно, треугольник прямоугольный по теореме, обратной теореме Пифагора (это треугольник 5, 12, 13, увеличенный вдвое).

Ответ

Да

Почему так

Квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других — треугольник прямоугольный.

Подробнее — в теме «Теорема, обратная теореме Пифагора».

Задача 5

Условие (кратко)

Выяснить, является ли треугольник со сторонами 3, 4, 6 прямоугольным. Ответ обосновать.

Решение

Дано

стороны 3
4
6

Найти

прямоугольный ли треугольник

В прямоугольном треугольнике гипотенузой была бы сторона 6, и выполнялось бы $$6^2 = 3^2 + 4^2$$ . Но $36 \ne 25$ . Треугольник не прямоугольный.

Ответ

Нет

Почему так

Равенство из теоремы Пифагора для большей стороны не выполняется — значит, прямого угла нет.

Подробнее — в теме «Теорема, обратная теореме Пифагора».

Задача 6

Условие (кратко)

Выяснить, является ли треугольник со сторонами 11, 9, 13 прямоугольным. Ответ обосновать.

Решение

Дано

стороны 11
9
13

Найти

прямоугольный ли треугольник

Большая сторона — 13 (а не последняя записанная или первая). $$13^2 = 169$$ , $$9^2 + 11^2 = 81 + 121 = 202$$ . Так как $169 \ne 202$ , по теореме Пифагора треугольник не может быть прямоугольным.

Ответ

Нет

Почему так

Проверять нужно именно большую сторону — её квадрат должен быть равен сумме квадратов двух других.

Подробнее — в теме «Теорема, обратная теореме Пифагора».

Задача 7

Условие (кратко)

Выяснить, является ли треугольник со сторонами 15, 20, 25 прямоугольным. Ответ обосновать.

Решение

Дано

стороны 15
20
25

Найти

прямоугольный ли треугольник

$$25^2 = 625$$ , $$15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$$ . Равенство выполняется, треугольник прямоугольный по теореме, обратной теореме Пифагора (египетский треугольник, увеличенный в 5 раз).

Ответ

Да

Почему так

Квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других — признак прямоугольного треугольника.

Подробнее — в теме «Теорема, обратная теореме Пифагора».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Задача 7

Похожие задачи для тренировки