Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 61

Упражнение 597 к § 61

Задача 1

Условие (кратко)

Найти меньшую высоту треугольника со сторонами 24 см, 25 см, 7 см.

Решение

Дано

Найти

$$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$$ , поэтому по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник прямоугольный с катетами 7 см и 24 см и гипотенузой 25 см.
Площадь: $S = \dfrac{1}{2} \cdot 7 \cdot 24 = 84$ см².
Чем длиннее сторона, тем короче проведённая к ней высота ( $h = \dfrac{2S}{a}$ ), поэтому меньшая высота — к гипотенузе: $h = \dfrac{2 \cdot 84}{25} = 6{,}72$ см.

Ответ

6,72 см

Почему так

Обратная теорема Пифагора показывает, что треугольник прямоугольный; меньшая высота проведена к большей стороне.

Условие (кратко)

Найти меньшую высоту треугольника со сторонами 15 см, 17 см, 8 см.

Решение

Дано

Найти

$$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$$ — треугольник прямоугольный, катеты 8 см и 15 см.
$S = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 60$ см².
Меньшая высота проведена к большей стороне 17 см: $h = \dfrac{2 \cdot 60}{17} = \dfrac{120}{17} = 7\dfrac{1}{17}$ см.

Ответ

7 1/17 см

Почему так

Треугольник прямоугольный по обратной теореме Пифагора, а высота к гипотенузе — самая короткая.