Задача 1
Условие (кратко)
В равнобедренном треугольнике основание 10 см, боковая сторона 13 см. Найти радиус вписанной окружности.
Решение
Дано
- \(\triangle ABC\)
- \(AB = BC = 13\) см
- \(AC = 10\) см
- \(O\) — центр вписанной окружности
- \(r\) — её радиус
Найти
- \(r\)
- Полупериметр \(p = \dfrac{13 + 13 + 10}{2} = 18\) см. По формуле Герона \(S = \sqrt{18 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 8} = \sqrt{3600} = 60\) см². (Проверка другим путём: высота к основанию \(\sqrt{13^2 - 5^2} = 12\) см, \(S = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60\) см².)
- Соединим \(O\) с вершинами. Треугольник разбился на три треугольника \(AOB\), \(BOC\), \(AOC\); высота каждого из них — радиус \(r\), проведённый в точку касания. Поэтому \(S = \dfrac{1}{2}r \cdot AB + \dfrac{1}{2}r \cdot BC + \dfrac{1}{2}r \cdot AC = r \cdot p\).
- \(r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{60}{18} = \dfrac{10}{3} = 3\dfrac{1}{3}\) см.
Ответ
3 1/3 см
Почему так
Площадь по формуле Герона, а затем S = pr — площадь, разбитая на три треугольника с высотой r.
Подробнее — в теме «Формула Герона».