Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 63

Упражнение 641 к § 63

§ 63. Пропорциональные отрезки · тема: Подобные треугольники

Задача 1

Условие (кратко)

На рисунке отрезок AD разбит на 18 равных делений: AB = 6, BC = 3, CD = 9; на отрезке MM₂ три таких же деления, MM₁ = 1, M₁M₂ = 2. Пропорциональны ли AC, CD и M₁M₂, MM₁?

Решение

Дано

по рисунку $$AC = 6 + 3 = 9$$
$$CD = 9$$
$$M_1M_2 = 2$$
$$MM_1 = 1$$ (в делениях)

Найти

верно ли $\dfrac{AC}{M_1M_2} = \dfrac{CD}{MM_1}$

$\dfrac{AC}{M_1M_2} = \dfrac{9}{2}$ , $\dfrac{CD}{MM_1} = \dfrac{9}{1} = 9$ .
Отношения разные, значит, отрезки не пропорциональны.

В ответах учебника указано «да»: этот ответ соответствует рисунку, на котором точки B и C стоят на 9-м и 12-м делениях ( $$AB = 9$$ , $$BC = 3$$ , $$CD = 6$$ ). На рисунке нашего издания B и C — на 6-м и 9-м делениях; пересчитайте деления на своём рисунке.

Ответ

Нет (по рисунку AC = CD = 9 делений, а M₁M₂ = 2, MM₁ = 1)

Почему так

Отрезки пропорциональны, если отношения соответствующих отрезков равны.

Подробнее — в теме «Подобные треугольники».

Задача 2

Условие (кратко)

По тому же рисунку (AB = 6, BC = 3, CD = 9 делений; MM₂ = 3, MM₁ = 1, M₁M₂ = 2). Пропорциональны ли AB, BC, CD и MM₂, MM₁, M₁M₂?

Решение

Дано

по рисунку $$AB = 6$$
$$BC = 3$$
$$CD = 9$$
$$MM_2 = 3$$
$$MM_1 = 1$$
$$M_1M_2 = 2$$ (в делениях)

Найти

верно ли $\dfrac{AB}{MM_2} = \dfrac{BC}{MM_1} = \dfrac{CD}{M_1M_2}$

$\dfrac{AB}{MM_2} = \dfrac{6}{3} = 2$ , $\dfrac{BC}{MM_1} = \dfrac{3}{1} = 3$ .
Уже первые два отношения различны, значит, отрезки не пропорциональны ( $\dfrac{CD}{M_1M_2} = 4{,}5$ — тоже другое число).

В ответах учебника указано «да» — это верно для рисунка с $$AB = 9$$ , $$BC = 3$$ , $$CD = 6$$ (отношения $$3 : 3 = 3 : 1 = 6 : 2$$ ), а не для рисунка нашего издания.

Ответ

Нет (отношения 2, 3 и 4,5 различны)

Почему так

Три отрезка пропорциональны трём другим, только если все три отношения равны.

Подробнее — в теме «Подобные треугольники».

Задача 3

Условие (кратко)

По тому же рисунку (AB = 6, BD = 12 делений; MM₁ = 1, M₁M₂ = 2). Пропорциональны ли AB, BD и MM₁, M₁M₂?

Решение

Дано

по рисунку $$AB = 6$$
$$BD = 3 + 9 = 12$$
$$MM_1 = 1$$
$$M_1M_2 = 2$$ (в делениях)

Найти

верно ли $\dfrac{AB}{MM_1} = \dfrac{BD}{M_1M_2}$

$\dfrac{AB}{MM_1} = \dfrac{6}{1} = 6$ , $\dfrac{BD}{M_1M_2} = \dfrac{12}{2} = 6$ .
Отношения равны, значит, отрезки пропорциональны.

В ответах учебника указано «нет» — это верно для рисунка с $$AB = 9$$ , $$BD = 9$$ ; на рисунке нашего издания $$AB = 6$$ , $$BD = 12$$ .

Ответ

Да (6 : 1 = 12 : 2)

Почему так

Равенство отношений AB/MM₁ = BD/M₁M₂ и означает пропорциональность.

Подробнее — в теме «Подобные треугольники».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Похожие задачи для тренировки