Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(AD\) — биссектриса, \(D\) лежит на \(BC\), \(\angle BAD = \angle CAD\). Доказать: \(\dfrac{BD}{AB} = \dfrac{CD}{AC}\).
- Проведём высоту \(AH\) к прямой \(BC\). Она общая для треугольников \(ABD\) и \(ACD\), поэтому их площади относятся как основания: \(\dfrac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \dfrac{\frac{1}{2}BD \cdot AH}{\frac{1}{2}CD \cdot AH} = \dfrac{BD}{CD}\).
- Углы \(BAD\) и \(CAD\) равны (биссектриса). По теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу (п. 58), \(\dfrac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \dfrac{AB \cdot AD}{AC \cdot AD} = \dfrac{AB}{AC}\).
- Левые части равны, значит, \(\dfrac{BD}{CD} = \dfrac{AB}{AC}\). Переставив средние члены пропорции, получаем \(\dfrac{BD}{AB} = \dfrac{CD}{AC}\).
Ответ
Доказано: BD : CD = AB : AC (свойство биссектрисы треугольника)
Почему так
Отношение площадей треугольников ABD и ACD выражается двумя способами — через основания и через стороны при равных углах.
Подробнее — в теме «Подобные треугольники».