Задача 1
Условие (кратко)
Периметр треугольника CDE равен 55 см, в него вписан ромб DMFN, вершины M, F, N лежат на CD, CE, DE. Найти CD и DE, если CF = 8 см, EF = 12 см.
Решение
Дано
- \(P_{CDE} = 55\) см
- \(DMFN\) — ромб
- \(M \in CD\)
- \(F \in CE\)
- \(N \in DE\); \(CF = 8\) см
- \(EF = 12\) см
Найти
- \(CD\)
- \(DE\)
- \(DF\) — диагональ ромба, она делит угол \(D\) пополам, поэтому \(DF\) — биссектриса треугольника \(CDE\).
- По свойству биссектрисы \(\dfrac{CD}{DE} = \dfrac{CF}{EF} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}\).
- \(CE = 8 + 12 = 20\) см, поэтому \(CD + DE = 55 - 20 = 35\) см.
- Пусть \(CD = 2x\), \(DE = 3x\): \(5x = 35\), \(x = 7\), \(CD = 14\) см, \(DE = 21\) см.
Ответ
CD = 14 см, DE = 21 см
Почему так
Диагональ DF ромба — биссектриса угла D, поэтому CD : DE = CF : FE.
Подробнее — в теме «Подобные треугольники».