Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Решение
Дано: \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\), коэффициент подобия \(k\). Доказать: \(\dfrac{P_{ABC}}{P_{A_1B_1C_1}} = k\).
- По определению подобия \(\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1} = \dfrac{CA}{C_1A_1} = k\), то есть \(AB = k \cdot A_1B_1\), \(BC = k \cdot B_1C_1\), \(CA = k \cdot C_1A_1\).
- Сложим: \(P_{ABC} = AB + BC + CA = k(A_1B_1 + B_1C_1 + C_1A_1) = k \cdot P_{A_1B_1C_1}\).
- Значит, \(\dfrac{P_{ABC}}{P_{A_1B_1C_1}} = k\).
Ответ
Доказано: периметры подобных треугольников относятся как k
Почему так
Каждая сторона одного треугольника в k раз больше сходственной стороны другого, поэтому и их сумма больше в k раз.
Подробнее — в теме «Подобные треугольники».