Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведённых к этим сторонам.
Решение
Дано: \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\), коэффициент подобия \(k\), \(BC\) и \(B_1C_1\) — сходственные стороны, \(h\) и \(h_1\) — высоты, проведённые к ним. Доказать: \(\dfrac{BC}{B_1C_1} = \dfrac{h}{h_1}\).
- По определению подобия \(\dfrac{BC}{B_1C_1} = k\).
- По теореме об отношении площадей подобных треугольников \(\dfrac{S}{S_1} = k^2\).
- С другой стороны, \(S = \dfrac{1}{2}BC \cdot h\), \(S_1 = \dfrac{1}{2}B_1C_1 \cdot h_1\), поэтому \(\dfrac{S}{S_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1} \cdot \dfrac{h}{h_1} = k \cdot \dfrac{h}{h_1}\).
- Приравниваем: \(k \cdot \dfrac{h}{h_1} = k^2\), откуда \(\dfrac{h}{h_1} = k = \dfrac{BC}{B_1C_1}\).
Ответ
Доказано: высоты, проведённые к сходственным сторонам, относятся как эти стороны (как k)
Почему так
Площадь записываем через сторону и высоту и сравниваем с теоремой S/S₁ = k².
Подробнее — в теме «Отношение площадей подобных треугольников».