Задача 1
Условие (кратко)
По рисунку найти x и y. Вверху: прямоугольные треугольники с катетами 8 и 12 и с катетами 6 и x, равный угол α лежит против катетов 8 и 6. Внизу: катет 20 + 8, перпендикуляр отсекает треугольник с гипотенузой 10.
Решение
Дано
- вверху — прямоугольный треугольник с катетами 8 и 12
- угол \(\alpha\) против катета 8
- и прямоугольный треугольник с катетами 6 и \(x\)
- угол \(\alpha\) против катета 6. Внизу — прямоугольный треугольник с катетами \(y\) и \(20 + 8 = 28\); перпендикуляр к катету 28 в точке деления отсекает прямоугольный треугольник с катетом 8 и гипотенузой 10
Найти
- \(x\)
- \(y\)
Находим x. У верхних треугольников есть прямой угол и равный острый угол \(\alpha\), по первому признаку они подобны. Сходственные стороны лежат против равных углов: против \(\alpha\) — катеты 8 и 6, против другого острого угла — 12 и \(x\). Поэтому \(\dfrac{8}{6} = \dfrac{12}{x}\), \(x = \dfrac{6 \cdot 12}{8} = 9\).
Находим y.
- Второй катет маленького треугольника по теореме Пифагора: \(\sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6\).
- Маленький и большой треугольники прямоугольные и имеют общий острый угол (там, где сходятся отрезок 8 и гипотенуза). По первому признаку они подобны.
- \(\dfrac{y}{6} = \dfrac{28}{8}\), откуда \(y = \dfrac{6 \cdot 28}{8} = 21\).
Ответ
x = 9, y = 21
Почему так
Прямоугольные треугольники с равным острым углом подобны по первому признаку, а сходственные стороны лежат против равных углов.
Подробнее — в теме «Первый признак подобия треугольников».