Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 66

Упражнение 658 к § 66

Задача 1

Условие (кратко)

E — точка на стороне CD параллелограмма ABCD, прямые AE и BC пересекаются в точке F. Найти EF и FC, если DE = 8 см, EC = 4 см, BC = 7 см, AE = 10 см.

Решение

Дано

Найти

$\angle AED = \angle FEC$ как вертикальные; $\angle ADE = \angle FCE$ как накрест лежащие при $AD \parallel CF$ и секущей $$CD$$ . По первому признаку $\triangle ADE \sim \triangle FCE$ .
Коэффициент подобия $k = \dfrac{DE}{CE} = \dfrac{8}{4} = 2$ .
$\dfrac{AE}{FE} = 2$ , $EF = \dfrac{10}{2} = 5$ см.
$$AD = BC = 7$$ см (противоположные стороны параллелограмма), $\dfrac{AD}{FC} = 2$ , $$FC = 3{,}5$$ см.

Ответ

EF = 5 см, FC = 3,5 см

Почему так

Прямая AE отсекает от угла при вершине E два подобных треугольника, потому что AD ∥ CF.

Условие (кратко)

Та же конструкция (E на CD параллелограмма ABCD, F — пересечение прямых AE и BC). Найти DE и EC, если AB = 8 см, AD = 5 см, CF = 2 см.

Решение

Дано

Найти

Как в пункте а), $\triangle ADE \sim \triangle FCE$ по двум углам, поэтому $\dfrac{DE}{EC} = \dfrac{AD}{FC} = \dfrac{5}{2}$ .
$$DE + EC = CD = AB = 8$$ см. Пусть $$DE = 5t$$ , $$EC = 2t$$ , тогда $$7t = 8$$ , $t = \dfrac{8}{7}$ .
$DE = \dfrac{40}{7} = 5\dfrac{5}{7}$ см, $EC = \dfrac{16}{7} = 2\dfrac{2}{7}$ см.

Ответ

DE = 5 5/7 см, EC = 2 2/7 см

Почему так

Из подобия треугольников ADE и FCE точка E делит CD в отношении AD : CF.