Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 66

Упражнение 659 к § 66

§ 66. Первый признак подобия треугольников · тема: Первый признак подобия треугольников

Задача 1

Условие (кратко)

Диагонали трапеции ABCD с основаниями AB и CD пересекаются в точке O. Найти AB, если OB = 4 см, OD = 10 см, DC = 25 см.

Решение

Дано

$$ABCD$$ — трапеция
$AB \parallel CD$
$AC \cap BD = O$
$$OB = 4$$ см
$$OD = 10$$ см
$$DC = 25$$ см

Найти

$$AB$$

$\angle AOB = \angle COD$ как вертикальные, $\angle ABO = \angle CDO$ как накрест лежащие при $AB \parallel CD$ и секущей $$BD$$ . По первому признаку $\triangle AOB \sim \triangle COD$ .
$\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{OB}{OD} = \dfrac{4}{10}$ , откуда $AB = 25 \cdot \dfrac{4}{10} = 10$ см.

Ответ

AB = 10 см

Почему так

Диагонали трапеции образуют с основаниями два подобных треугольника.

Подробнее — в теме «Первый признак подобия треугольников».

Задача 2

Условие (кратко)

В той же трапеции найти отношения AO : OC и BO : OD, если AB = a, DC = b.

Решение

Дано

$$ABCD$$ — трапеция с основаниями $$AB = a$$ и $$DC = b$$
$$O$$ — точка пересечения диагоналей

Найти

$\dfrac{AO}{OC}$ и $\dfrac{BO}{OD}$

Треугольники $$AOB$$ и $$COD$$ подобны по двум углам (вертикальные углы при $$O$$ и накрест лежащие углы при параллельных основаниях). Сходственные стороны: $$AO$$ и $$CO$$ , $$BO$$ и $$DO$$ , $$AB$$ и $$CD$$ . Поэтому

\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{DC} = \frac{a}{b}.

Ответ

AO/OC = BO/OD = a/b

Почему так

Точка пересечения диагоналей трапеции делит каждую диагональ в отношении оснований.

Подробнее — в теме «Первый признак подобия треугольников».

Задача 3

Условие (кратко)

В той же трапеции найти AO, если AB = 9,6 дм, DC = 24 см, AC = 15 см.

Решение

Дано

$$AB = 9{,}6$$ дм $$= 96$$ см
$$DC = 24$$ см
$$AC = 15$$ см

Найти

$$AO$$

По пункту б) $\dfrac{AO}{OC} = \dfrac{AB}{DC} = \dfrac{96}{24} = 4$ , то есть $AO = 4 \cdot OC$ .
$$AO + OC = AC = 15$$ см, $5 \cdot OC = 15$ , $$OC = 3$$ см, $$AO = 12$$ см.

Ответ

AO = 12 см

Почему так

Диагональ делится точкой пересечения в отношении оснований; основания сначала переводят в одни единицы.

Подробнее — в теме «Первый признак подобия треугольников».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Похожие задачи для тренировки