Упражнение 660 к § 66

Дано: два равнобедренных треугольника, у каждого есть угол, равный \(\varphi < 90^\circ\). Доказать или опровергнуть: треугольники подобны.

Острый угол может быть и углом при вершине, и углом при основании.

• Если в обоих треугольниках \(\varphi\) — угол при вершине (или в обоих — при основании), то и остальные углы совпадают: \(\dfrac{180^\circ - \varphi}{2}\) или \(180^\circ - 2\varphi\). Треугольники подобны по первому признаку.
• Если в одном \(\varphi\) — угол при вершине, а в другом — при основании, подобия может не быть. Пример при \(\varphi = 50^\circ\): углы \(50^\circ, 65^\circ, 65^\circ\) и \(50^\circ, 50^\circ, 80^\circ\) — наборы разные.

Дано: два равнобедренных треугольника, у каждого есть тупой угол \(\varphi\). Доказать: треугольники подобны.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны, и два тупых угла в треугольнике быть не может. Значит, тупой угол — угол при вершине в обоих треугольниках, а углы при основании равны \(\dfrac{180^\circ - \varphi}{2}\) в каждом. Два угла одного треугольника равны двум углам другого — треугольники подобны по первому признаку.

Дано: два равнобедренных прямоугольных треугольника. Доказать: треугольники подобны.

Прямой угол, как и тупой, может быть только углом при вершине. Тогда углы при основании в каждом треугольнике равны \(\dfrac{180^\circ - 90^\circ}{2} = 45^\circ\). Углы \(90^\circ\) и \(45^\circ\) одного треугольника равны соответствующим углам другого — треугольники подобны по первому признаку.