Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 66

Упражнение 662 к § 66

Задача 1

Условие (кратко)

M, N, P лежат на сторонах AB, BC, CA треугольника ABC, MN ∥ AC, NP ∥ AB. Найти стороны AMNP, если AB = 10 см, AC = 15 см, PN : MN = 2 : 3.

Решение

Дано

Найти

Противоположные стороны $$AMNP$$ попарно параллельны, значит, это параллелограмм: $$AM = PN$$ , $$AP = MN$$ .
Пусть $$PN = AM = 2t$$ , $$MN = 3t$$ . Тогда $$BM = 10 - 2t$$ .
$MN \parallel AC$ , поэтому $\angle BMN = \angle BAC$ , угол $$B$$ общий, и $\triangle BMN \sim \triangle BAC$ : $\dfrac{MN}{AC} = \dfrac{BM}{BA}$ , то есть $\dfrac{3t}{15} = \dfrac{10 - 2t}{10}$ .
$$30t = 150 - 30t$$ , $$t = 2{,}5$$ . Стороны: $$AM = PN = 5$$ см, $$MN = AP = 7{,}5$$ см.

Ответ

AM = NP = 5 см, MN = PA = 7,5 см

Почему так

AMNP — параллелограмм, а отрезок MN отсекает треугольник BMN, подобный треугольнику BAC.

Условие (кратко)

В той же конструкции найти стороны AMNP, если AM = AP, AB = a, AC = b.

Решение

Дано

Найти

$$AMNP$$ — параллелограмм с равными соседними сторонами, то есть ромб. Обозначим его сторону $$x$$ : $$AM = MN = x$$ , $$BM = a - x$$ .
Как в пункте а), $\triangle BMN \sim \triangle BAC$ : $\dfrac{MN}{AC} = \dfrac{BM}{BA}$ , $\dfrac{x}{b} = \dfrac{a - x}{a}$ .
$$ax = ab - bx$$ , $$x(a + b) = ab$$ , $x = \dfrac{ab}{a + b}$ .

Ответ

Все четыре стороны равны ab/(a + b)

Почему так

Параллелограмм с равными соседними сторонами — ромб; его сторону находят из подобия треугольников BMN и BAC.